Category: Fără categorie

Problema ne cere să arătăm că suma
S = 1 + 5 + 5² + 5³ + … + 5²⁰²¹
este divizibilă cu 31. Nu trebuie să calculăm efectiv această sumă uriașă, ci să observăm un model care se repetă. În astfel de exerciții, cheia este să identificăm grupuri de termeni care au o proprietate comună.

Primul pas din soluție este esențial: observăm  că
1 + 5 + 5² = 1 + 5 + 25 = 31.
Deci suma primilor trei termeni este chiar 31, un număr divizibil cu 31.

Apoi se arată că următorii trei termeni, 5³ + 5⁴ + 5⁵, pot fi scosi în evidență sub forma
5³ · (1 + 5 + 5²) = 5³ · 31,
care este și el divizibil cu 31.

Ideea devine clară: orice grup de câte trei termeni consecutivi ai sumei are forma
5ᵏ + 5ᵏ⁺¹ + 5ᵏ⁺² = 5ᵏ · (1 + 5 + 5²) = 5ᵏ · 31,
adică este multiplu de 31.

Acum trebuie doar să verificăm câți termeni are suma. În expresie apar puterile lui 5 de la 5⁰ (care este 1) până la 5²⁰²¹. Asta înseamnă 2022 termeni. Cum 2022 este multiplu de 3, putem grupa toți termenii în 674 de grupe a câte 3.

Fiecare grup este multiplu de 31, iar suma mai multor multipli ai lui 31 este tot un multiplu de 31. Prin urmare, întreaga sumă S se împarte exact la 31.

Concluzia este foarte frumoasă: nu a fost nevoie să calculăm niciun număr mare, ci doar să observăm structura repetitivă a termenilor și să folosim proprietățile puterilor. Acest tip de gândire este extrem de util în probleme de divizibilitate și sume mari.

Cei care doresc sa aprofundeze cunostintele de matematica pot, in plus, sa descarce si sa comande culegeri digitale pentru clasele 5-8 cu un simplu click pe Libraria digitala. Acestea sunt contra cost.

Aceasta culegere digitala de matematica este destinata in special elevilor din clasa a IX-a, dar poate fi utilizata cu rezultate bune si de elevii din celelalte clase de liceu. Este utila inclusiv  la pregatirea Examenului de Bacalaureat. Continutul include subiecte si probleme rezolvate de mare interes, des intalnite in tematica scolara, concursuri si examene:

• Functiile de grad I si II (notiuni teoretice, grafic, monotonia etc)
• Inductia matematica
• Numere reale
• Operatii cu vectori
• Functii trigonometrice in triunghiul dreptunghic

Pentru fiecare clasa de subiecte si probleme sunt prevazute abordari, clarificari si explicatii structurate pe nivelele: incepator, mediu, master, excelenta si performanta. In total sunt 37 de videoclipuri si peste 10 ore de vizionare incluzand explicatii si rezolvari.

Autorul culegerii digitale, prof. de matematica gradul I Cezar Apostolescu, a participat ca elev al Colegiului National “ I. L. Caragiale” din Ploiesti, la multe editii ale Olimpiadei de matematica, obtinand numeroase premii si mentiuni, inclusiv la faza pe tara. Predand in continuare matematica la acelasi colegiu (functionand apoi in calitate de director plin), a pregatit zeci de generatii de elevi, inclusiv pentru performanta. A realizat o valoaroasa baza digitala  de cunostinte pentru gimnaziu si liceu, reunite sub titulatura de “Academia de matematica”.

Prof. Cezar Apostolescu a selectat, pentru aceasta culegere, tipuri de probleme a caror rezolvare conduce nemijlocit la formarea si dezvoltarea competentelor (matematice si nu numai) prevazute in actuala programa scolara. O buna parte dintre acestea au fost lucrate efectiv cu elevii la clasa sau in pregatirea unor concursuri, dovedindu-se eficienta lor in formarea gandirii matematice.

Consideram ca parcurgerea solutiilor problemelor din culegere da posibilitatea elevilor din clasa a IX-a dar si celor din clasele terminale sa – si completeze cunostintele si deprinderile matematice de la nivelul formarii unor concepte de baza pana la nivelul sistematizarii in vederea unor eventuale examene sau concursuri.

In principiu ordinea parcurgerii materialelor ar trebui sa respecte algoritmul conceptele de baza– incepatori – nivel mediu – aprofundari – performanta, desigur unele etape putand fi sarite in functie de gradul de stapanire a temei respective.

Aceasta culegere digitala de matematica, ca si celelalte culegeri, este stocata in cloud putand fi descarcata imediat. Deasemenea, continutul este compatibil cu orice dispozitiv din gama PC, laptop, tableta sau smartphone, utilizand Windows, Android sau iOS.

Licenta de utilizare este pe timp nelimitat, pe oricate dispozitive apartinand elevului. Astfel, acesta se poate pregati indiferent de locul unde se afla, utilizand dispozitivul disponibil in acel moment. Este permis transferul de pe un dispozitiv pe altul.

O noua culegere digitala de subiecte si probleme de matematica pentru clasele 5-8 se afla acum la dispozitia dvs. Ea poate fi descarcata si accesata incepand cu 25 ian 2021. Credem ca, mai ales in aceasta perioada, culegerea reprezinta un ajutor real pentru toti elevii.

Aceasta culegere digitala de matematica pentru clasele 5-8 ofera:

– 220 de subiecte si probleme rezolvate

– Repartizare uniforma pentru toate clasele 5-8

– Format audio / video (70 de probleme)

– Format grafic (150 de probleme)

– Descarcare imediata din cloud (Google Drive)

– Continut vizionat pe: PC, tableta, smartphone, SmartTV

– Continutul poate fi transferat intre dispozitive

– Licenta pe perioada nelimitata

– Cost: doar 39,90 lei

Informatii si comenzi la office.digital.training@gmail.com sau 0723 561 112.

Alte culegeri digitale de matematica:

Culegere pentru clasele 4-5:



Culegere pentru Simulare si Evaluare nationala:

Va multumim !