Problema ne cere să arătăm că suma
S = 1 + 5 + 5² + 5³ + … + 5²⁰²¹
este divizibilă cu 31. Nu trebuie să calculăm efectiv această sumă uriașă, ci să observăm un model care se repetă. În astfel de exerciții, cheia este să identificăm grupuri de termeni care au o proprietate comună.
Primul pas din soluție este esențial: observăm că
1 + 5 + 5² = 1 + 5 + 25 = 31.
Deci suma primilor trei termeni este chiar 31, un număr divizibil cu 31.
Apoi se arată că următorii trei termeni, 5³ + 5⁴ + 5⁵, pot fi scosi în evidență sub forma
5³ · (1 + 5 + 5²) = 5³ · 31,
care este și el divizibil cu 31.
Ideea devine clară: orice grup de câte trei termeni consecutivi ai sumei are forma
5ᵏ + 5ᵏ⁺¹ + 5ᵏ⁺² = 5ᵏ · (1 + 5 + 5²) = 5ᵏ · 31,
adică este multiplu de 31.
Acum trebuie doar să verificăm câți termeni are suma. În expresie apar puterile lui 5 de la 5⁰ (care este 1) până la 5²⁰²¹. Asta înseamnă 2022 termeni. Cum 2022 este multiplu de 3, putem grupa toți termenii în 674 de grupe a câte 3.
Fiecare grup este multiplu de 31, iar suma mai multor multipli ai lui 31 este tot un multiplu de 31. Prin urmare, întreaga sumă S se împarte exact la 31.
Concluzia este foarte frumoasă: nu a fost nevoie să calculăm niciun număr mare, ci doar să observăm structura repetitivă a termenilor și să folosim proprietățile puterilor. Acest tip de gândire este extrem de util în probleme de divizibilitate și sume mari.
Cei care doresc sa aprofundeze cunostintele de matematica pot, in plus, sa descarce si sa comande culegeri digitale pentru clasele 5-8 cu un simplu click pe Libraria digitala. Acestea sunt contra cost.